МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА" РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧІ ДІРІХЛЕ ДЛЯ РІВНЯННЯ ПУАССОНА МЕТОДОМ СКІНЧЕННИХ РІЗНИЦЬ Методичні вказівки до лабораторної роботи з курсу "Чисельні методи математичної фізики" для студентів базового напрямку 6.0802 "Прикладна математика" Затверджено на засіданні кафедри прикладної математики Протокол №4 від 9.11.2006 Львів – 2007 Розв’язування задачі Діріхле для рівняння Пуассона методом скінченних різниць: Методичні вказівки до лабораторної роботи з курсу "Чисельні методи математичної фізики" для студентів базового напрямку 6.0802 "Прикладна математика" / Укл.: Б.Й. Бандирський, М.В. Кутнів. – Львів: Видавництво Національного університету "Львівська політехніка", 2007. – 14 с. Укладачі Бандирський Б.Й., канд.фіз.-мат.наук, доц. Кутнів М.В., канд.фіз.-мат.наук, доц. Відповідальний за випуск Костробій П.П., канд.фіз.-мат.наук, проф. Рецензент Каленюк П.І., д-р.фіз.-мат.наук, проф. Теоретична частина 1. Різницева апроксимація задачі Діріхле для рівняння Пуасона Розглянемо задачу Діріхле для рівняння Пуассона: знайти неперервну в
функцію
, яка задовольняє рівняння
, (1) і граничну умову
, (2) де
, а
–границя області
,
–задані функції. Припустимо, що
такі, що розв’язок задачі (1), (2) існує єдиний і є достатньо гладкою функцією. Введемо в
прямокутну сітку

. Для розв’язування задачі (1), (2) розглянемо різницеву схему
(3)
(4) де
. Точки
, в яких записується рівняння (3), належать підмножині
сітки
, яку називають множиною внутрішніх вузлів. Множину точок
, в яких задані різницеві граничні умови (4), називають границею сітки
. Зауважимо, що кутові точки
не беруть участі у цій апроксимації і тому не належать ні до внутрішніх, ні до граничних. Різницеве рівняння (3) записано на п’ятиточковому шаблоні
(рис.1), а тому схему (3) часто називають схемою “хрест”.

Рис.1 Нехай
– розв’язок задачі Діріхле (1), (2), а
– розв’язок різницевої задачі (3), (4). Розглянемо похибку
. Підставляючи
в (3), (4), одержимо для
різницеву задачу
,
, де
– похибка апроксимації на розв’язку рівняння (1). Враховуючи формули
,
, одержимо
Отже, схема (3) має другий порядок апроксимації. Побудова різницевої схеми і дослідження її властивостей для випадку, коли
є об’єднанням скінченного числа прямокутників, проводиться аналогічно. 2. Застосування ітераційних методів для розв’язування різницевої задачі Діріхле Визначимо оператор

, (5) де
,
– простір сіткових функцій, заданих на
,
– простір сіткових функцій, заданих на сітці
таких, що
і рівних нулю на границі
сітки
. Позначаючи
(6)
, (7)
(8) запишемо різницеву схему (3), (4) в операторному вигляді
. (9) Для розв’язування системи рівнянь (9) (або (3), (4)), з оператором (5) і правою частиною (6)–(8) розглянемо двоярусні ітераційні методи, записані у канонічному вигляді
. (10) Метод Якобі
для системи (3), (4) записується у вигляді
(11) Початкове наближення
( довільна сіткова функція, яка приймає на границі
задані значення
. В даному випадку метод Якобі збігається з методом простої ітерації за оптимального значення ітераційного параметра. Дійсно метод простої ітерації
для системи (3), (4) у випадку
володіє найбільшою швидкість збіжності, якщо
де
( найбільше та найменше власні числа оператора (5), тобто
,
. При цьому значенні параметра метод простої ітерації має вигляд
Останні рівняння збігаються з (11). Швидкість збіжності методу (11), як методу простої ітерації з оптимальним параметром визначається числом
Число ітерацій
, необхідних для досягнення заданої точності
...